信号与系统

第一章信号与系统¶

信号¶

# 连续时间信号和离散时间信号¶

两者之间的差别主要在于自变量的类型，连续时间信号的自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；离散时间信号仅仅定义在离散的时间点上，也就是自变量仅仅取在一组离散值上。

另外，无论离散时间信号的来源是什么，信号总是在n的整数值上有定义。

# 信号能量与平均功率¶

无论连续时间信号还是离散时间信号，信号的总能量均可以表示为信号表达式模平方的求和形式(求和或积分)，根据所求信号的特点确定上下限。平均功率是信号总能量在时间上的平均。

# 自变量的变换¶

信号自变量的变换包括：时移，反褶，尺度变换等。

# 周期信号¶

当一个信号时移$T$后其值不变，即满足$x(t)=x(t+T)$那么这个信号为一个周期信号，周期为$T$，使得定义式成立的最小$T_0$为基波周期。注意当$x(t)$为常数时，基波周期的定义不存在，因为对于任何$T$，定义式成立，不存在最小的$T$值。对于离散信号同理。不是周期信号就是非周期信号。

对于周期复指数信号，要求$e^{jw_0T}=1$,如果$w_0=0$那么对于任何$T$值都是周期的，如果$w_0 \neq 0$，基波周期$T_0$可以表示为$\frac{2\pi}{w_0}$。

对于正弦信号，可以利用欧拉公式转换成一个周期复指数信号。

谐波关系：一组具有公共基波周期的周期信号。

# 奇信号与偶信号¶

如果一个信号以原点为轴反转后不变，就称其为偶信号$x(t)=x(-t)$。若反转后是相反数关系，即为奇信号$x(t)=-x(-t)$。对于任意一个信号都可以分解成两个信号之和，其中一个为偶信号，另一个为奇信号。 $$ x_e(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)] $$

\[ x_o(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \]

\[ x(t)=x_o(t)+x_e(t) \]

# 阻尼正弦振荡 ¶

具有指数衰减振幅的正弦信号常称为阻尼正弦振荡。

# 单位脉冲和单位阶跃 ¶

单位脉冲响应的重要性质

一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合，这个性质与叠加性和时不变性结合起来，可以用线性时不变的单位冲激响应来表征任何一个线性时不变系统(Linear Time-Invariant)的特性。

两者的关系

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，后者是前者的求和函数。即

\[ \delta[n]=u[n]-u[n-1] \]

\[ u[n]=\sum_{m=-\infty}^n \delta[m],其中，m可以表示为k=n-m,再将上下限改为n和k=-\infty \]

连续时间单位脉冲是连续时间单位阶跃函数的一次微分，后者是前者的积分函数。

系统¶

# 系统之间的关系 ¶

串联或称级联：系统1的输出是系统2的输入。
并联：系统1和系统2有相同的输入，并联后系统的输出是两个系统输出之和。
反馈互联：系统1的输出是系统2的输入，系统2的输出反馈回来与外加的输入信号组成系统1的真正输入。

# 系统的基本性质 ¶

有记忆系统和无记忆系统

无记忆系统：

如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入，则这个系统是无记忆系统。如电阻器(电流为输入，电压为输出，$y(t)=Rx(t)$)，如恒等系统($y(t)=x(t)$).

有记忆系统：

如果对自变量的每一个值，一个系统的输出保留或储存了不是当前时刻输入的信息，则这个系统是有记忆系统(笔者按：在奥本海姆的书中没有明确给出有记忆系统的定义，这里是笔者对相关描述整理后的结果)。如累加器，如延迟单元，如电容器。

可逆性与可逆系统

如果一个系统在不同的输入下，导致不同的输出，就称该系统是可逆的(有点像数学中的函数和反函数，其中具有反函数(函数可逆)的充分必要条件就是该函数为双射函数，即同时为单射和满射)。

如果一个系统是可逆的，就有一个逆系统存在。当输入信号通过原系统和逆系统的级联后，输出与输入信号相等。即原系统和逆系统的级联是一个恒等系统。

可逆系统举例：编码器，简单的线性系统

不可逆系统举例：$y[n]=0或y[n]=x^2[n]$，不满足单射。

因果系统与非因果系统

如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统就称为因果系统。所有的无记忆系统都是因果的，因为输出仅仅对当前的输入值做出响应。

不是所有具有实际意义的系统都是仅由因果系统构成的。例如独立变量不是时间的应用中(如图像处理)，因果性就不是一个根本性的限制。

稳定性

一个稳定系统，如果它的输入是有界的(即输入的幅度不是无界增长的)，则系统的输出也必须是有界的，因此不可能发散。

时不变性

若系统的特性和行为不随时间而变，该系统就是时不变的。如果$y(t)<-x(t)$，那么$y(t-t_0)<-x(t-t_0)$。

线性

如果某一个输入是由几个信号的加权和组成的，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。

\[ ax_1(t)+bx_2(t) \rightarrow ay_1(t)+by_2(t) \]

可加性：$y_1(t)+y_2(t)$是对$x_1(t)+x_2(t)$的响应；

齐次性：$ay_1(t)$是对$ax_1(t)$的响应。

系统必须同时满足可加性和齐次性，而信号和任何比例常数都可以是复数。例如取实部运算，在输入和比例常数时复数的时候就只满足可加性不满足齐次性。

增量线性系统：系统的总输出可以由一个线性系统的响应与一个零输入响应的叠加来组成。

第二章线性时不变系统¶

卷积和与卷积积分¶

一个线性时不变系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定。

# 离散时间单位脉冲序列与卷积和¶

离散时间单位脉冲序列

任意一个离散时间信号$x[n]$可以表示为一串移位的单位脉冲序列$\delta[n-k]$的线性组合，且加权因子即为$x[n]$。

\[ x[n]=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}x[k]\delta[n-k] \]

也称为离散时间单位脉冲序列的筛选性质。仅保留了$k=n$时候的值。

离散时间单位脉冲序列响应的引出

考虑某一线性(不一定为时不变)系统对任一输入$x[n]$的响应，该输入可以表现为离散时间单位脉冲序列的和。令$h_k[n]$为线性系统对移位单位脉冲$\delta[n-k]$的响应。那么输出可以表示为，

\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n] \]

当系统为时变系统的时候，对于不同的$k$值，$h_k[n]$之间并不一定有什么关系；当系统为时变系统的时候，响应$h_k[n]$就是$h_0[n]$的一个时移，即$h_k[n]=h_0[n-k]$。定义单位脉冲序列响应为$h[n]=h_0[n]$，那么对于LTI系统，有

\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] \]

即为卷积和，可以用运算$y[n]=x[n]\ast h[n]$表示。

可以用两种方法求卷积和

先将$n$视为定值，输出视为$k$的函数，那么相乘以后得到的$g[n]=x[n]h[n-k]$可以视为每个时刻$k$，输入x[k]对输出在$n$时刻的贡献，那么在$n$时刻的输出$y[n]$，即为$g[k]$在$n$时刻的求和。

反褶相乘相加(注意区间)

# 连续时间单位脉冲序列与卷积积分¶

连续时间单位脉冲序列

用阶梯信号来近似$x(t)$，当阶梯间隔趋向0的时候，可以得到任一信号用连续时间单位脉冲序列表示的表达式。

\[ x(t)=\lim_{\Delta\to0}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\Delta=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm{d}\tau \]

连续时间单位脉冲序列响应的引出

与离散时间单位脉冲序列响应类似，将输出表示为，

\[ \hat{y}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\hat{h}_{k\Delta}(t)\Delta \]

在将$\Delta \rightarrow 0$，就可以得到卷积积分，

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau \]

即为卷积积分，可以用运算$y(t)=x(t)\ast (t)$表示。

# 卷积的性质¶

满足交换律。可以利用变量置换的方法证明。
满足分配律。可以在相加项上进行分配。由分配律可以发现，LTI系统的并联可以用一个单一的LTI系统来代替，而该系统的单位冲激响应为并联时各个单位冲激响应之和。
满足结合律。按照任一顺序来卷积信号对输出结果没有影响(系统的级联次序可以交换)。但注意，只有在LTI系统中该性质成立。

LTI系统及其性质¶

# LTI系统的性质¶

有记忆和无记忆的LTI系统

如果一个LTI系统，它的单位脉冲响应h[n]对于$n \neq 0$不全为零，这个系统就是有记忆的。

LTI系统的可逆性

仅当存在一个逆系统，其与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统才是可逆的。而且，如果一个LTI系统是可逆的，那么它的逆系统也是LTI系统。

LTI系统的因果性

LTI系统的冲激响应应满足下面的条件：$h[n] = 0,n < 0$，即一个因果LTI系统的冲激响应应在冲激出现之前必须为0.一个线性系统的因果性就等效于初始松弛条件；也就是说，如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前是零，那么其输出在那个时刻以前也必须是零。

LTI系统的稳定性

如果单位脉冲响应是绝对可和(或绝对可积)的，即

\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|<\infty \]

那么$y[n]$就是有界的，因此系统是稳定的。上式是保证一个LTI系统稳定的充要条件。

# LTI系统的单位阶跃响应¶

一个LTI系统的单位阶跃响应$s[n]或s(t)$可以表示为单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积$s[n]=u[n] \ast h[n]$。应为$u[n]$是一个累加器的单位脉冲响应，因此有：$s[n]=\sum^n_{k=- \infty}h[k]$。另外，$h[n]$可以根据$h[n]=s[n]-s[n-1]$恢复。

# 用微分和差分方程描述LTI系统¶

微分或者差分方程描述的是系统输入和输出之间的一种约束关系，为了完全表征系统，需要同时给出附加(初始)条件。

微分方程的完全解由特解和齐次解(自然响应，输入置零时的微分方程的解)组成，求特解的通用方法就是输入一个与输入形式相同的信号求出受迫响应。

# 用框图描述系统¶

习题2-58,2-60

# 奇异函数和单位冲激偶¶

奇异函数是指函数本身有不连续点（跳跃点）或其导数或积分有不连续点的一类函数。常见的奇异函数包括$\delta$函数及各阶导数，阶跃函数及其各阶导数的函数族。

单位冲激偶是单位冲激的导数，其主要性质为：

面积为0，是奇函数
筛选特性：$\mathrm{x(t)\delta^{\prime}(t-t_0)=x(t_0)\delta^{\prime}(t-t_0)-x^{\prime}(t_0)\delta(t-t_0)}$
取样特性：$\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{x(t)\delta^{\prime}(t-t_0)dt=-x^{\prime}(t_0)}$
微分器：$\mathrm{x(t)*\delta^{\prime}(t)=x^{\prime}(t),x(t)*\delta^{\prime}(t-t_0)=x^{\prime}(t-t_0)}$

第三章周期信号的傅里叶级数表示¶

FT的历史回顾¶

1748年欧拉：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振荡模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动的弦的形状也都是这些震荡模的线性组合。在线性组合中，其后面时间的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中求导取得。
1753年，伯努利（D.Bermoulli）曾经声称：一根弦的实际运动都可以用标准振荡模的线性组合来表示。
1759年拉格朗日（J.L.Lagrange）也曾强烈批评使用三角级数来研究振动弦运动的主张。他反对的论据是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。
1807年，傅里叶发现在表示物体的温度分布时，成谐波关系的正弦函数级数是非常有用的，并断言：“任何”周期信号都可以用这样的级数来表示。
1829年，狄利赫利给出了若干精确的条件，在这些条件下，一个周期信号才可以用一个傅里叶级数表示。
1965年，库利图基独立地发现一种称为快速傅里叶变换(FFT)的算法被引入。

LTI系统对复指数信号的响应¶

特征函数：一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号是系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。
意义：如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示¶

# 成谐波关系¶

定义：对于周期信号，有$x(t)=x(t+T)$，其基波周期就是满足定义的最小非零正值T，而$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$称为基波频率。例如信号$x(t)=e^{j\omega_0t}$是周期的，而且其基波频率为$\omega_0$，与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是$\Phi_k(t)=e^{jk\omega_0 t}=e^{jk(2\pi/T)t},k=0,\pm 1,\pm2,……$。其基波周期是T的约数。
傅里叶级数表现形式： $$ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{{+\infty}a_{k}\mathrm{e}}}k\omega_{0}t}=\sum_{k=-\infty^{{+\infty}a_{k}\mathrm{e}} $$}k(2\pi/T)t

# 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定¶

如果$x(t)$可以表示成一组谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中的系数就可以有下面的式子确定。这一对关系式就定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数:

\[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{0}t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k(2\pi/T)t} \]

称为综合公式 $$ a_{k}=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\mathrm{e}^{{-\mathrm{j}k\omega_{0}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\mathrm{e}}t $$ 称为分析公式，系数往往称为傅里叶级数系数，或称为}k(2\pi/T)t}\mathrm{d$x(t)$的频谱系数。这些复数系数是对$x(t)$中每一个谐波分量大小的度量。系数$a_0$是$k=0$时的频谱系数，也是直流或常数分量。表示的是$x(t)$信号中一个周期内的平均值。

# 傅里叶级数的收敛问题(狄利赫利条件)¶

考虑有限项级数

\[ x_N(t)=\sum_{k=-N}^Na_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_0t} \]

近似误差

\[ e_N(t)=x(t)-x_N(t)=x(t)-\sum_{k=-N}^{+N}a_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_0t} \]

选取误差衡量的度量为一个周期内误差的能量：$E_N=\int_T|e_N(t)|^2\mathrm{d}t$

如果有$N \rightarrow \infty，E_N \rightarrow 0$，那么x(t)可以展开成傅里叶级数；相反的，则无限项级数也可能不收敛于原来的信号$x(t)$。

由此，可以引出狄利赫利条件

1.在任何周期内，$x(t)$必须绝对可积,即$\int_T\left|x(t)\right|\mathrm{d}t<\infty$。不满足该条件的周期信号可以举例如下： $x(t)=\frac{1}{t},\quad0<t\leqslant1$

它的图像如下：

2.在任意有限区间内，$x(t)$具有有限个起伏变化，也就是说，在任何单个周期内，$x(t)$的最大值和最小值的数目有限。

满足条件一而不满足条件二的一个函数是 $x(t)=sin(\frac{2\pi}{t}),0<t\leq 1$

3.在$x(t)$的任何区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

吉布斯现象

一个不连续信号$x(t)$的傅里叶级数的阶段近似$x_N(t)$，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量，可以理解为随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点处压缩。当信号为方波的时候，会有9%的方波。

连续时间傅里叶级数的性质¶

离散时间周期信号的傅里叶级数表示¶

\[ x[n]=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{0}n}=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k(2\pi/N)n} \]

\[ a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}x[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{0}n}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle}x[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k(2\pi/N)n} \]

离散时间傅里叶级数的性质¶

傅里叶级数与LTI系统¶

线性系统的输入输出关系可以表示为，$y(t)=H(s)e^{st}，其中H(s)有H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\mathrm{e}^{-s\tau}\mathrm{d}\tau$，其中的$h(\tau)$是该LTI系统的单位冲激响应。

类似的，$y[n]=H(z)z^n，其中H(z)有H(z)=\sum^{+ \infty}_{k=- \infty}$其中$h[k]$是该LTI系统的单位脉冲响应。

当s或者z是一般复数时，$H(s)或H(z)$就成为该系统的系统函数。

当$s=j\omega$的时候，函数就称为该系统的频率响应，它由下式给出

\[ H(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \]

滤波¶

#频率成形滤波器¶

用于改变频谱形状的LTI系统

微分滤波器

\[ y(t)=\frac{dx(t)}{dt}，如果x(t)=e^{j\omega t} \]

\[ 那么y(t)=j\omega e^{j \omega t}，H(j\omega)=j\omega \]

微分滤波器经常使用的一种目的是在图像处理中用于边缘的增晰。构成二维图像的信号$x(t_1,t_2)$，考虑在一幅图像沿垂直方向亮度急剧变化的某一边缘。因为沿着这条边缘亮度是不变或变化很缓慢的，在垂直方向这条边缘的频率分量就集中在低频域；相反，因为跨过这条边缘在亮度上有-一个陡峭的变化，在水平方向这条边缘的频率分量就集中在较高的频域。

#频率选择性滤波器¶

频率选择性滤波器是一类专门用于完全地或近似地选取某些频带范围内的信号和除掉其他频带范围内信号的滤波器。分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等等。

第四章连续时间傅里叶变换¶

连续时间傅里叶变换¶

# 非周期信号傅里叶变换表示的导出¶

在建立非周期信号傅里叶变换时，可以把非周期信号当成一个周期信号在周期任意大时的极限来看待。可以推出，

\[ X(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \]

该式被称为傅里叶变换或傅里叶积分，和，

\[ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \]

该式被称为傅里叶逆变换。

# 傅里叶变换的收敛问题(狄利赫利条件)¶

$x(t)$绝对可积，即$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\mathrm{d}t<\infty$
在任何有限区间内，$x(t)$只有有限个最大值和最小值
在任何有限区间内，$x(t)$有有限个不连续点，而且在每个不连续点都必须是有限值。

因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在傅里叶变换。

倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有傅里叶变换。

抽样函数sinc:

$sinc(\theta)=\frac{sin \pi \theta}{\pi \theta}$

# 周期信号的傅里叶变换¶

可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构造出一个周期信号的傅里叶变换；所得到的变化在频域由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于傅里叶级数系数。

# 连续时间傅里叶变换性质¶

性质注释

时移性质：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模，相当于在变换中引入相移，即$-\omega_0 t$，相移与频率$\omega$成线性关系。
尺度变换性质：时间和频率之间存在相反关系，例如增加正弦信号的周期，其频率就下降。
相乘性质：一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅，因此两个信号相乘往往也被称为幅度调制(调制性质)。

基本傅里叶变换对

第五章离散时间傅里叶变换¶

非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换¶

#离散时间傅里叶变换的导出¶

原信号--抽样--周期延拓--求和

离散时间傅里叶变换：

\[ X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega n} \]

离散时间傅里叶逆变换：

\[ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega n}\mathrm{d}\omega \]

# 离散时间傅里叶变换的收敛问题¶

如果x[n]是绝对可和的，或者序列的能量是有限的，那么离散时间傅里叶变换是收敛的。即

\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|<\infty (绝对可和) , \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2<\infty (能量有限) \]

# 周期信号的傅里叶变换¶

考虑一个周期序列$x[n]$，周期为N，其傅里叶级数为

\[ x[n]=\sum_{k=\langle N\rangle}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k(2\pi/N)n} \]

这时，傅里叶变换就是

\[ X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_{k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi k}{N}\right) \]

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶系数得到。

# 离散时间傅里叶变换的性质¶

# 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性¶

第六章信号与系统的时域和频域特性¶

傅里叶变换的模相¶

# 模相表示¶

\[ X(j\omega)=|X(j\omega)|e^{j\angle X(j\omega)} \]

在图像中，傅里叶变换的相位包含了图像中的大部分信息，尤其是关于边缘方面的信息。

# LTI系统的频率响应的模和相位表示¶

若$H(j\omega)$是系统的频率响应，即系统单位冲激响应的傅里叶变换，则输入输出的傅里叶变换关系是

\[ Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega}) \]

则输出的幅相可以由下式表示

\[ |Y(j\omega)|=|H(j\omega)||X(j\omega)|(增益),\angle Y(j\omega)=\angle H(j\omega)+\angle X(j\omega)(相移) \]

# 线性与非线性相位¶

当相移是$\omega$的线性函数时，考虑频率响应是$H(j\omega)=e^{-j\omega}$的连续时间LTI系统，它有单位增益和线性相位，即$|H(j\omega)|=1,\angle H(j\omega)=-\omega t_0$。这个系统产生的输出就是输入的时移。

# 群时延¶

在每个频率上的群时延就等于在那个频率上相位特性斜率的负值，即

\[ \tau(\omega)=-\frac{d}{d\omega}{\angle H(j\omega)} \]

当群时延非恒定时，会在输入中的不同频率引入不同的延时量，这个现象称为弥散。

第七章采样¶

采样定理¶

Note

如果一个信号是带限的，并且它的样本相对于信号中的最高频率而言取得足够密，那么这些样本值就可以唯一地表征这一信号，并且可以从这些样本中把信号完全恢复出来。这一结果就是采样定理。

# 冲激串采样与Nyquest采样定理¶

通过一个周期冲激串去乘带采用的连续时间信号$x(t)$，在时域中有：

\[ x_p(t)=x(t)p(t),p(t)=\sum^{+\infty}_{x=-\infty}\delta(t-nT) \]

在频域中有：

\[ X_p(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}(\omega-k\omega_s)) \]

想要不失真地将原始信号从采样信号恢复出来，要求采样信号在频域上无混叠，由此可以引出Nyquest采样定理：

采样定理

设$x(t)$是某一个带限信号，在$|\omega|>\omega_M$时，$X($j$\omega)=0$。如果$\omega_s>2\omega_M$,其中$\omega_s=2\pi/T$, 那么$x(t)$就唯一地由其样本$x(nT),n=0,\pm1,\pm2,\cdots$所确定。

已知这些样本值，我们能用如下办法重建 $x(t):$产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为$T$,截止频率大于$\omega_M$而小于$\omega_s-\omega_M$的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 $x(t)$。

# 零阶保持采样¶

原因:产生和传输窄带脉冲信号(类似于冲激)相当困难，因此使用零阶保持会比较简单。

零阶保持

在给定的某个瞬间对$x(t)$进行采样并保持这一样本值，知道下一个样本被采到为止。需要从采样信号恢复原信号时可以使用低通滤波器进行重建。

# 利用内插由样本重建信号¶

内插

用一个连续信号对一组样本值的拟合，是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，这一重建结果既可以是近似的，也可以是完全准确地。零阶保持是一种内插过程，另一种是线性内插，在更为复杂的内插公式中，样本点之间可以用高阶多项式或其他数学函数来进行拟合(高阶保持)。

# 欠采样的效果:混叠现象¶

参考教材：

[1] 曾兴斌、蒋刚毅、杭国强.信号与线性系统(修订版).北京:清华大学出版社,2019.9

[2] ALANV.OPPENHEIM,奥本海姆,Oppenheim,等.信号与系统:(第二版)[M].电子工业出版社,2020.8

信号与系统

第一章 信号与系统¶

信号¶

# 连续时间信号和离散时间信号¶

# 信号能量与平均功率¶

# 自变量的变换¶

# 周期信号¶

# 奇信号与偶信号¶

# 阻尼正弦振荡 ¶

# 单位脉冲和单位阶跃 ¶

系统¶

# 系统之间的关系 ¶

# 系统的基本性质 ¶

第二章 线性时不变系统¶

卷积和与卷积积分¶

# 离散时间单位脉冲序列与卷积和¶

# 连续时间单位脉冲序列与卷积积分¶

# 卷积的性质¶

LTI系统及其性质¶

# LTI系统的性质¶

# LTI系统的单位阶跃响应¶

# 用微分和差分方程描述LTI系统¶

# 用框图描述系统¶

# 奇异函数和单位冲激偶¶

第三章 周期信号的傅里叶级数表示¶

FT的历史回顾¶

LTI系统对复指数信号的响应¶

连续时间周期信号的傅里叶级数表示¶

# 成谐波关系¶

# 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定¶

# 傅里叶级数的收敛问题(狄利赫利条件)¶

连续时间傅里叶级数的性质¶

离散时间周期信号的傅里叶级数表示¶

离散时间傅里叶级数的性质¶

傅里叶级数与LTI系统¶

滤波¶

#频率成形滤波器¶

#频率选择性滤波器¶

第四章 连续时间傅里叶变换¶

连续时间傅里叶变换¶

# 非周期信号傅里叶变换表示的导出¶

# 傅里叶变换的收敛问题(狄利赫利条件)¶

# 周期信号的傅里叶变换¶

# 连续时间傅里叶变换性质¶

第五章 离散时间傅里叶变换¶

非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换¶

#离散时间傅里叶变换的导出¶

# 离散时间傅里叶变换的收敛问题¶

# 周期信号的傅里叶变换¶

# 离散时间傅里叶变换的性质¶

# 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性¶

第六章 信号与系统的时域和频域特性¶

傅里叶变换的模相¶

# 模相表示¶

# LTI系统的频率响应的模和相位表示¶

# 线性与非线性相位¶

# 群时延¶

第七章 采样¶

采样定理¶

# 冲激串采样与Nyquest采样定理¶

# 零阶保持采样¶

# 利用内插由样本重建信号¶

# 欠采样的效果:混叠现象¶

评论

第一章信号与系统¶

第二章线性时不变系统¶

第三章周期信号的傅里叶级数表示¶

第四章连续时间傅里叶变换¶

第五章离散时间傅里叶变换¶

第六章信号与系统的时域和频域特性¶

第七章采样¶